算几不等式的应用(2)

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连结: 算几不等式的应用(1)

算几不等式第二种应用类型依然与求最大或最小值有关,只是不再依附于几何图形,而是抽象的代数关係。例如翰林版课本《普通高级中学数学1》中的随堂练习就给了「两正数 \(a\)、\(b\),若 \(a+b=18\),试求 \(ab\) 的最大值。」一旦应用的範畴脱离了几何意义之后,那就可以在抽象的关係上做出许多的变化,解题时就需要用到其他的关係或工具,因而困难度也就大幅提高。这类变化的题目,因为解法十分多样,所以就成了各种数学竞赛中常见的题目。以下仅举出几例说明。

99学年度台湾省第一区数学科能力竞赛笔试(一)中,

「已知实数 \(a\) 与 \(b\) 满足 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\)、\(a+b=1\),求 \(\frac{b}{1+a}+\frac{a}{1+b}\) 的最大值与最小值。」

此题乍看之下与算几不等式没有关联,但将所求通分、化简后,算几不等式就可以粉墨登场了。

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{b}{{1 + a}} + \frac{a}{{1 + b}} &=\displaystyle \frac{{b + {b^2} + a + {a^2}}}{{1 + a + b + ab}} = \frac{{1 + {a^2} + {b^2}}}{{2 + ab}} \\&=\displaystyle\frac{{2 – 2ab}}{{2 + ab}}\left(\because{{a^2} + {b^2} = {{(a + b)}^2} – 2ab} \right)\\&=\displaystyle \frac{{ – 2(2 + ab) + 6}}{{2 + ab}} =- 2 + \frac{6}{{2 + ab}}\end{array}\)

,由算几不等式可知 \(\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}\),故 \(\displaystyle ab\le\frac{1}{4}\),

等号成立的充要条件是 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\);又 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\),故 \(ab\ge 0\)。

因此,所求的最大值为 \(\displaystyle -2 + \frac{6}{{2 + 0}} = 1\),此时 \(a=0\)、\(b=1\) 或 \(a=1\)、\(b=0\);

所求的最小值为 \(\displaystyle -2+\frac{6}{{2+\frac{1}{4}}}=-2+\frac{{24}}{9}=\frac{2}{3}\),此时 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\)。

上面这个题目,答案其实好猜,就将 \(a\)、\(b\) 极端值 \(a=0\)、\(b=1\) 或 \(a=1\)、\(b=0\) 代入,以及 \(a\)、\(b\) 相等的值代入,就可以得到最大值与最小值,因此并不适合作为塡充题。不过,100学年度台湾省第四区数学科能力竞赛笔试(二)中的

「若 \(a>b\) 且 \(ab=1\),则在 \((a,b)=\)________时,\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}\) 有最小值。」

这就让解题者无从猜起了。如同上一题,必须先将所求转换成其他形式,

而乘法公式 \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\) 正好可以派上用场,

因此所求 \(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\),

至此,算几不等式的使用就是水到渠成了,

\(\displaystyle(a-b)+\frac{2}{{a-b}}\ge 2\sqrt {(a-b)\cdot \frac{2}{{a-b}}}=2\sqrt 2\)

最小值 \(2\sqrt{2}\) 发生在 \(a -b =\displaystyle\frac{2}{{a – b}}\Leftrightarrow a-b=\sqrt 2\),又 \(ab=1\),

可解出 \(a =\displaystyle\frac{{\sqrt 6+\sqrt 2 }}{2}\)、\(b =\displaystyle\frac{{\sqrt 6-\sqrt 2 }}{2}\)。

上述两题都不是直接套用算几不等式的题目,需先利用给定的条件,加上其他的数学工具,将所求转换成可以使用算几不等式的形式。至于如何转换所求,巧妙各有不同,正是这类题目最难以捉摸的部分。有兴趣的读者,不妨找本数学竞赛的书,挑战书中的难题、欣赏巧妙的解法。

让我们回到算几不等式本身。依笔者的经验,许多学生在练习了利用算几不等式求最大、最小值的题目后,常常会产生错误的认知,以为最大值或最小值就是发生在等号成立的时候,因此,往往就会错误地使用算几不等式而得到正确的答案。

例如本文中「已知实数 \(a\) 与 \(b\) 满足 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\)、\(a+b=1\),求 \(\displaystyle \frac{b}{1+a}+\frac{a}{1+b}\) 的最大值与最小值。」一题,常见的错误解法是:

\(\displaystyle\frac{b}{{1+a}}+\frac{a}{{1+b}}\ge 2\sqrt{\frac{b}{{1+a}}\cdot\frac{a}{{1+b}}}\),

等号成立时的充要条件是 \(\displaystyle\frac{b}{{1 + a}}=\frac{a}{{1 + b}}\),即 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\),

所以 \(\displaystyle\frac{b}{{1 + a}} + \frac{a}{{1 + b}} \ge 2 \cdot \sqrt {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{1}{2}}}{{1 +\displaystyle \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\displaystyle\frac{1}{2}}}{{1 +\displaystyle\frac{1}{2}}}}=\displaystyle\frac{2}{3}\),故得最小值为 \(\displaystyle\frac{2}{3}\) 。

要让学生知道这解法是错的,最好的方法之一,就是先造成学生的认知冲突。例如给一题不存在最小值的题目:「若 \(a\)、\(b\) 均为正数,求 \(a+b\) 的最小值。」因为 \(a+b\) 恆大于 \(0\),不可能为 \(0\),故最小值不存在。理由就如同〈算几不等式的应用(1)〉中的「\(x<2\) 在的条件下,\(x\) 并没有最大值」,请读者参阅。

不过,透过算几不等式我们知道 \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\),等号成立时的充要条件是 \(a=b\),也就是说,在 \(a=b\) 的条件下,\(a=b\) 的值永远是 \(2a\),但永远没有最小值。

再举个例子,72学年度大学联考社会组数学的考题:

「设 \(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\),求 \(\displaystyle\frac{2}{\sin\theta}+\frac{3}{\cos\theta}\) 的最小值。」

此题最小值是存在的,为 \((\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}\),但错误使用算几不等式,则会得到不正确的答案。

错误解法如下:

由算几不等式知 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }} + \frac{3}{{\cos \theta }} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\sin \theta }} \cdot \frac{3}{{\cos \theta }}}\),

等号成立的充要条件为 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }}=\frac{3}{{\cos\theta }}\Leftrightarrow\tan\theta=\frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}=\frac{2}{3}\),

已知 \(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\),故 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{2}{{\sqrt {13} }}\),\(\displaystyle\cos\theta=\frac{3}{{\sqrt {13} }}\),

代回所求得 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }}+\frac{3}{{\cos \theta }}=\sqrt {13}+\sqrt {13}=2\sqrt {13}\)。

上述两个错误解法的共通之处,就是误以为算几不等式等号成立的时候,就是最大值或最小值发生的时候。打个比方好了,算几不等式的两边,就好像是百货公司中相邻的两部电梯(昇降梯),等号成立的时候就是这两部电梯停在同一楼层,但这楼层可以是美食街、女装部、男装部、停车场、游乐场任一楼层,不一定是最顶层或是最底层(参阅图一)。

也就是说,算几不等式等号成立的时候,并不必然有着最大值或最小值。一般说来,在使用算几不等式求最大值或最小值时,我们会想办法让不等式的某一边为定值,另一边则为所求(本文一开始所举之例子,或〈算几不等式的应用(1)〉中的例子),那幺当等号可以成立的时候,该定值就会是最大值或最小值了。

算几不等式的应用(2)

图一(本文作者林仓亿摄于高雄市大立精品百货公司)

前文所举的72学年度大学联考题,解法难度非常高,在当年还引发不少讨论。《数学传播》第7卷第3期(民国72年)中,当时任教于台北市立第一女子高级中学的潘政辉老师,其〈从一个联考试题说起〉一文提供了不需要使用微积分的解法;陈昭地教授的〈「七十二学年度大学联考数学试题」杂感〉,则对此题作出了中肯的评论。有兴趣的读者,不妨前往《数学传播》的网站阅读上述两篇文章。由于此题的正确解法超出了算几不等式的範畴,笔者就不再此文中说明了。不过,对于喜欢猜时有最大值或最小值的学生,本文所举之例子:「若 \(a>b\) 且 \(ab=1\),则在 \((a,b)=\)________时,\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}\) 有最小值。」倒不失为一帖良方。

连结:算几不等式的应用(3)


参考文献